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例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
例2 某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元，刻录X张
电脑公司：Y1=8X
学校 ：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1<Y2
考点指要
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
解：
（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x—6
（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
考点指要
此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。
一道初三数学题（有二次函数，一次函数，圆）
设甲为正比例函数
所以s=v甲*20
设乙为一次函数
所以s=v乙*20
因此，（v甲-v乙）*20=10，
得：（v甲-v乙）=二分之一，
经过8秒后甲到终点，求乙距离终点s，s即甲乙在相遇后的路程差，
故s=（v甲-v乙）*8=4
如图,已知一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax?+bx-3
原题
一道初三数学题（有二次函数，一次函数，圆）
直线y=mx+2与抛物线y=-x?+2x+3交于T,Q两点，是否存在实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，求m，若不存在，说明理由。
解答：
以TQ为直径的圆恰好经过原点
即：TQ的中点A(a，b)到原点的距离等于TQ的一半
y=-x?+2x+3
y=mx+2
直线方程代入抛物线
-x?+2x+3=mx+2
x?+(m-2)x-1=0
x1+x2=2-m
x1x2=-1
(x1-x2)?=(x1+x2)?-4x1x2=(2-m)?-4*(-1)=m?-4m+8
TQ?=(1+m?)(x1-x2)?
这是弦长公式
=(m?+1)(m?-4m+8)
TQ中点A(a,b)
a=(x1+x2)/2=(2-m)/2
b=(y1+y2)/2=m(x1+x2)/2+2=(-m?+2m+4)/2
OA?=(TQ/2)?
4OA?=TQ?
4(a?+b?)=TQ?
(2-m)?+(-m?+2m+4)?=(m?+1)(m?-4m+8)
3m?-4m-2=0
m=(2±√10)/3
(1)将A（-1,0）代入y1中
0=-（-1）+m
m=-1
y1=-x-1
将点AB代入y2中
0=a-b-3
-3=4a+2b-3
解方程组的a=1,b=-2
所以y2=x^2-2x-3
(2)y2=(x-1)^2-4
所以顶点是（1，-4）
将直线pb斜率求出k=(-3-(-4))/(2-1)=1
与y1的斜率k1=-1
因为k1*k=-1
所以直线yb 垂直于y1
pb=√[(1-2)^2+(-4+3)^2]=√2
同理AB=3√2
面积=1/2pb*AB=1/2*√2*3√2=3
(3)因为y1>y2 y1应该位于y2上方
由图的，自变量范围为（-1,2）
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